1 基于二项分布的检验

1.1 主要理论

二项分布描述了n重Bernoulli试验种恰有k次成功的概率，记为\(B(n,p)\)，基于二项分布的检验主要是对\(p\)进行检验： \[ H_0:\ p=p_0\qquad v.s. \qquad H_1:\ ? \] 涉及到具体的实际问题主要有：

• 分位数检验：\(X\)的\(p_0\)分位数是\(x_0\)，数据中没有严格等于\(x_0\)的数

• 符号检验：\(p_0=0.5\)的二项检验。可用于中位数检验，两样本中成对数据的比较以及位置参数的检验

涉及到的主要R语言函数：binom.test。

formals(binom.test)
#> $x
#> 
#> 
#> $n
#> 
#> 
#> $p
#> [1] 0.5
#> 
#> $alternative
#> c("two.sided", "less", "greater")
#> 
#> $conf.level
#> [1] 0.95

1.2 习题3

3.1

已知某中昆虫的20%显示出特性A，在非正常的环境下得到18条昆虫，其中没有一条具有特性A。那么假设在这种环境下，此种昆虫和通常环境一样有0.2的概率显示特性A，这合理吗？取显著性水平\(\alpha=0.05\)，用双边检验。

解：

基于二项分布的检验问题： \[ p=0.2\qquad v.s.\qquad p\ne0.2 \]

利用R：

binom.test(x = 0,n = 18,p = 0.2,alternative = "two.sided")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  0 and 18
#> number of successes = 0, number of trials = 18, p-value = 0.03
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.2
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.000 0.185
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                      0

p值小于0.05，故应当拒绝原假设，即假设在这种环境下，此种昆虫和通常环境一样有0.2的概率显示特性A，这不合理。

3.2

在一次安全月活动中，所检验的16辆车中有6辆是不安全的。试在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，检验原假设：这些车中有不多于10%的车是安全的。

解：

设\(p\)是车辆不安全的概率，有基于二项分布的检验问题： \[ p\le0.1 \qquad v.s. \qquad p>0.1 \]

利用R：

binom.test(x = 6,n = 16,p = 0.1,alternative = "greater")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  6 and 16
#> number of successes = 6, number of trials = 16, p-value = 0.003
#> alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.1
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.178 1.000
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                  0.375

\(p\)值小于0.05，应当拒绝原假设。

3.3

某一居民小区向市政府报告说，至少有60%的居民认同小区改造建设。市政府随后就随机调查了100个居民，其中48人同意这种小区改造建设。问在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，检验这个居民小区的报告是否合理。

解：

同意小区改造假设的居民人数服从二项分布，\(p\)为同意的概率。检验问题： \[ p \ge 0.6 \qquad v.s. \qquad p<0.6 \] 利用R：

binom.test(x = 48,n = 100,p = 0.6,alternative = "less")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  48 and 100
#> number of successes = 48, number of trials = 100, p-value = 0.01
#> alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.6
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.000 0.567
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                   0.48

\(p\)值小于0.05，故应当拒绝原假设，即认为这个居民小区的报告不合理。

3.4

据估计，目前做前列腺手术的男性中有一半正遭受某种副作用的影响。为了努力减轻这种副作用的可能性，FDA研究了一种新的手术方法。19例受手术者只有3人有这种不良副作用，由此得出这项新手术方法能有效减轻副作用，这个结论可靠吗？取显著性水平\(\alpha=0.05\)。

解：

有不良副作用的受手术者人数服从二项分布，\(p\)为有不良副作用的概率，为了保护原假设，检验问题： \[ p\ge0.5\qquad v.s. \qquad p<0.5 \] 利用R：

binom.test(x = 3,n = 19,p = 0.5,alternative = "less")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  3 and 19
#> number of successes = 3, number of trials = 19, p-value = 0.002
#> alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.000 0.359
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                  0.158

\(p\)值小于0.05，即可以认为结论可靠。

3.5

某学校初中三年级学生的体重的随机样本有如下20个数据（单位：kg）：

71, 67, 49, 59.5, 65.5, 51.5, 77, 61, 46.5, 68.5,

43, 59.5, 80.5, 77, 79, 82.5, 40.5, 58.5, 64, 51.5.

试在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，检验下面的假设：

（1）体重的中位数为51.5；

（2）95%分位数至少是75；

（3）30%分位数小于等于45。

解：

# 先载入数据
data <- c(71, 67, 49, 59.5, 65.5, 51.5, 77, 61, 46.5, 68.5, 
43, 59.5, 80.5, 77, 79, 82.5, 40.5, 58.5, 64, 51.5)

（1）利用符号检验

x <- 51.5
S1 = sum(data<x) # 小于中位数个数
S2 = sum(data>x) # 大于中位数个数
S0 = sum(data==x) # 等于中位数个数
binom.test(x = S2,n = S1+S2,p = 0.5,alternative = "two.side") # 去掉S0
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  S2 and S1 + S2
#> number of successes = 14, number of trials = 18, p-value = 0.03
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.524 0.936
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                  0.778

\(p\)值小于\(0.05\)，故应当拒绝假设（1）.

（2）原假设等价于95%分位数大于等于75，也即若75是\(p_0\)分位数，则\(p_0\le0.95\)。故检验问题为分位数检验： \[ H_0:\ p_0\le0.95\qquad v.s. \qquad H_1:\ p_0>0.95 \]

x <- 75
S1 = sum(data<x) 
S2 = sum(data>x) 
S0 = sum(data==x) 
S0
#> [1] 0

由于没有数据严格等于75，可实用二项检验：

binom.test(x = S1,n = S1+S2,p = 0.95,alternative = "greater") 
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  S1 and S1 + S2
#> number of successes = 15, number of trials = 20, p-value = 1
#> alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.95
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.544 1.000
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                   0.75

\(p\)值很大，可以接受假设（2）.

（3）类似于（2），可以得到分位数检验问题：

\[ H_0:\ p_0\ge0.3\qquad v.s. \qquad H_1:\ p_0<0.3 \]

x <- 45
S1 = sum(data<x) 
S2 = sum(data>x) 
S0 = sum(data==x) 
S0
#> [1] 0

由于没有数据严格等于45，可实用二项检验：

binom.test(x = S1,n = S1+S2,p = 0.3,alternative = "less") 
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  S1 and S1 + S2
#> number of successes = 2, number of trials = 20, p-value = 0.04
#> alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.3
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.000 0.283
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                    0.1

\(p\)值小于\(0.05\)，应当拒绝假设（3）.

3.6

大学新生入学后需要参加一个特殊的高中学业考试，多年以来成绩的上四分位数是72.某高中有16名毕业生上了大学，他们参加了考试，得分如下：

70,92,73,60,81,63,92,68,

75,82,76,72,62,58,95,92

认为这16个学生是这所高中上大学的所有学生的一个随机样本。试在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，检验上面所给出的分数是来自一个上四分位数为72的总体。

解：

分位数的检验问题。设\(X\)为总体，检验问题： \[ X的75\%分位数为72\quad v.s. \quad X的75\%分位数不是72 \]

因为数据中有严格等于72的数据，所以下面考虑手动计算。

# d为数据向量
# q为分位数值
# p为多少分位数
quantile.test <- function(d, q, p, alternative = c("two.sided", "less", 
    "greater")){
      len <- length(d)
      t1 <- sum(d<=q)  # 小于等于分位数值的个数
      t2 <- sum(d<q)  # 小于分位数值的个数
      l <- pbinom(q = t1,size = len,prob = p)
      r <- pbinom(q = t2,size = len,prob = p,lower.tail = TRUE)
      PVAL <- switch(alternative,
                     less = l,
                     greater = r,
                     two.sided = 2*min(l,r))
      structure(list(p.value = PVAL, alternative = alternative))
    }

d <- c(70,92,73,60,81,63,92,68,
75,82,76,72,62,58,95,92
)
quantile.test(d,72,0.75,"two.sided")
#> $p.value
#> [1] 0.00329
#> 
#> $alternative
#> [1] "two.sided"

由于\(p\)值小于0.05，故应当拒绝原假设。

3.7

在某保险种类中，2011年的索赔数额（单位：万元）的随机样本为

23.12, 23.64, 25.26, 27.42, 34.86, 37.98, 47.40,

52.37, 58.42, 63.71, 73.80, 75.06, 93.60, 98.25

已知2010年的索赔数额的中位数为48.32万元，试在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，检验2011年的索赔数额的中位数是否比上一年有所变化。

解：

中位数的双边检验问题，利用符号检验。

# 载入数据
d <- c(23.12, 23.64, 25.26, 27.42, 34.86, 37.98, 47.40,
52.37, 58.42, 63.71, 73.80, 75.06, 93.60, 98.25)
x <- 48.32
S1 = sum(d<x) 
S2 = sum(d>x) 
S0 = sum(d==x) 
binom.test(x = S1,n = S1+S2,p = 0.5,alternative = "two.sided")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  S1 and S1 + S2
#> number of successes = 7, number of trials = 14, p-value = 1
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.23 0.77
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                    0.5

\(p\)值巨大，可以认为原假设成立，即2011年的索赔数额的中位数比上一年没有显著变化。

3.8

一个工人加工某零件的尺寸标准应该是10mm，顺序度量了20个加工后的零件之后，得到如下尺寸：

9.9,8.8,11.3,10.3,10.0,10.5,11.6,9.4,11.9,9.4,

9.5,11.7,12.2,9.6,12.8,9.8,10.7,10.9,11.3,10.7

试在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，检验零件尺寸的中位数是否有大于10mm的可能？

解：

中位数检验问题： \[ M>10\qquad v.s. \qquad M\le 10 \]

# 载入数据
d <- c(29.9,8.8,11.3,10.3,10.0,10.5,11.6,9.4,11.9,9.4,
9.5,11.7,12.2,9.6,12.8,9.8,10.7,10.9,11.3,10.7)
x <- 10
S1 = sum(d<x) 
S2 = sum(d>x) 
S0 = sum(d==x) 
binom.test(x = S1,n = S1+S2,p = 0.5,alternative = "less")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  S1 and S1 + S2
#> number of successes = 6, number of trials = 19, p-value = 0.08
#> alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.00 0.53
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                  0.316

\(p\)值大于0.05，应当接受原假设，即认为零件尺寸的中位数有大于10mm的可能。

3.9

关顾某食品店的22名顾客品尝甲和乙两种点心并选出喜欢的品种。7名顾客喜欢甲品种，12顾客喜欢乙品种，3名顾客没有特别偏好。问在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，这能否说明顾客有明显偏好？

解：

成对数据的比较，利用两样本的符号检验：

\[ 顾客没有明显偏好\qquad v.s. \qquad 顾客没有明显偏好 \]

S1 = 7  # 喜欢甲品种
S2 = 12 # 喜欢乙品种
S0 = 3  # 结点，不考虑
binom.test(x = S1,n = S1+S2,p = 0.5,alternative = "two.sided")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  S1 and S1 + S2
#> number of successes = 7, number of trials = 19, p-value = 0.4
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.163 0.616
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                  0.368

\(p\)值大于0.05，故应当接受原假设，即认为顾客有明显偏好。

3.10

某6位学生打算通过节食减肥，节食前后的体重（单位：kg）有如下结果：

节食前体重：114,121,128,122,141,128

节食后体重：105,126,123,118,143,121

问在显著性水平\(\alpha=0.05\)下，我们能否认为他们的减肥计划是成功的？

解：

成对数据的比较问题： \[ P^{-}> P^{+}\qquad v.s. \qquad P^{-}\le P^{+} \] 即 \[ P^{-}> 0.5\qquad v.s. \qquad P^{-}\le 0.5 \]

# 载入数据
d1 <- c(114,121,128,122,141,128)
d2 <- c(105,126,123,118,143,121)
S1 <- sum(d2<d1)  # S-
S2 <- sum(d2>d1)  # S+
binom.test(x = S1,n = S1+S2,p = 0.5,alternative = "less")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  S1 and S1 + S2
#> number of successes = 4, number of trials = 6, p-value = 0.9
#> alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.000 0.937
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                  0.667

\(p\)值大于0.05，故我们应当接受原假设，即认为他们的减肥计划并不成功。